本期话题：究竟什么是中国数学教育的优良传统?
编者按：为什么要提出这个命题?因为越是到数学课程改革的深处，越发现这个问题的重要�！凹坛杏氪葱隆彼灯鹄醇虻ィ导噬鲜且桓龊苣训氖虑�，难就难在对什么应该继承、什么应该创新的判断。在改革中，“传统”似乎一直是被打压的对象，“传统”就是应当被革命的事物的代名词。论起理来，大家也都觉得优良传统应该继承，可是具体说来，什么才是我们今天应当发扬的“优良”传统，却讳莫如深。追根溯源，是我们对传统抱有偏见，对“优良”传统的内涵还没搞清楚，对真正的传统缺乏很好的归纳、审视和总结。在“课程改革再出发”之际，我们很有必要在以前诸多争论的基础上，对这个具有本原性的问题做一个彻底的探讨。更重要的是，我们需要一个开诚布公的对话渠道，一个健康的学术争鸣环境。如此才能真正解决问题。
关于中国数学教育的特色——与国际上相应概念的对照
●张奠宙
用一句话来概括中国数学教育的特色，那就是：“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展�！闭饫锏摹笆Щ 保淠诤褪侨笫芰Γ菏г怂隳芰Α⒖占湎胂竽芰�、逻辑思维能力；这里的“数学发展”是指：提高用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，促进学生在德智体各方面的全面发展。与此相应的教学方式，则是贯彻辩证唯物主义精神，进行“启发式”教学，关注课堂教学中的数学本质，倡导数学思想方法教学，运用“变式”进行练习，加强解题规律的研究。
这样的特色，也可以用“数学双基教学”的习惯性说法加以表述。“双基”是指基础知识和基本技能。但是“双基教学”不等于“双基”本身。作为一种教学思想，“双基教学”并不是单纯地强调打基础，还包括在打好基础之上的发展。以为“双基教学”不要发展，那是一种误解。
中国的数学课堂教学，具有许多与世界主流研究不同的特色。有一个时期，这些特色或者被当作批判扬弃的对象，或者被认为是雕虫小技不予重视，还有一些则停留在朴素的层面，缺乏理论加工。相对于大肆追捧国外的一些光怪陆离却并无实践效果的“概念”和理论，我们未免有点“妄自菲薄”，太瞧不起自己了。
以下我们分别简述中国数学教育的六个特征，并和国外的有关提法相对照，借以显示中国数学教育的特色所在。
1．注重“导入”环节。
涂荣豹指出，中国数学教学长于由“旧知”导出“新知”，“引入新课”往往是数学教师最为精心设计的部分①。注重“导入”环节，是贯彻启发式教学的关键之一。一个好的“导入”设计，往往会成为一堂课成功的关键。经过多年的积累，我国在“数学导入”上，已经发展为一门艺术。
国外引进的、强调联系学生日常生活的“情境设置”，只是“导入”的一种。事实上，就数学课堂而言，能够设置与学生的日常生活相联系的“情境”，只能是少数。大多数的数学课，尤其是大量的“数与式”的运算规则的程序性数学内容，多半没有现实情境可言。例如，因式分解、合并同类项、幂和指数运算等，很难设置现实情境。但是可以用适当的方式导入。比如，用“整数的质因数分解”导出“因式分解”、用“同类归并”的朴素思想导入“合并同类项”、用“连加为乘”导出“连乘为幂”等都是可行的。中国数学课堂上，呈现了许多独特的导入方式，除了现实“情境呈现”之外，还包括“假想模拟”、“悬念设置”、“故事陈述”、“旧课复习”、“提问诱导”、“习题评点”、“铺垫搭桥”、“比较剖析”等手段。 这些导入方式，是“启发式”教学的有机组成部分。最近一段时间以来，我们提倡“情境教学”是正确的，但是，人不能事事都直接经验，大量获得的是间接经验。从学生的日常生活情境出发进行数学教学，只能是启发式的“导人”的一种加强和补充，不能取消或代替“导入”教学环节的设置。坚持“导人新课”的教学研究，弄清它和“情境设置”的关系，是我们的一项任务。
2．“尝试教学”。
1980年代，顾泠沅通过群众性地总结当时的数学教育优秀个案，提出“尝试指导、效果回授”的教学策略②，风靡大江南北。小学数学教育界，则有邱学华倡导的“尝试教学法”③，具有全国性影响。他们的经验中都有“尝试”二字。这是一个有价值的“创造”。
西方相应的理念是“探究、发现、创造”。但是，对于中小学生而言，在课堂学习中，要在短短的九年义务教育中，把人类几千年来反复思考、经过实践检验的最基础的知识“探究、发现、创造出来”，那是难以做到的。
在数学教学中，让学生进行“尝试”，比较符合基础教育的实际。尝试的含义是，提出自己的想法，可以对，也可以不对；可以成功，也可以失败；可以做到底，也可以中途停止。尝试，不一定要“自己”把结果发现出来，但是却要有所设想、敢于提问、勇于试验。让学生在听取教师的讲课时，根据自己或对或错的“尝试”进行对照，并通过师生互动，最后把握知识的真谛，这是有效的可以操作的自主学习方式。
总之，“尝试教学”的含义较广，它可以延伸为“探究、发现”�！俺⑹越萄А�，可以在每一节课上使用，探究、发现数学规律，则只能少量为之�！俺⑹越萄А保Ω么永砺凵辖徊教教�。
3．师班互动。
国外盛行的“分组探究”、“代表汇报”、“彼此讨论”、“教师总结”，是一种有效的师生互动形式，但是比较适合于小班教学。如果班上人数超过30人，分组很多，教师对小组的指导就难以全面。
据曹一鸣等的调查，“师班互动”是课堂师生互动的主要类型④。中国的课堂人数相对较多，一般是40人，多的达60人。这样的大班上课，用分组讨论、汇报交流的教学方式十分困难。那么，数学课堂如何避免“满堂灌”，实现师生互动呢?在长期的实践中，中国的数学教师采用了“设计提问”、“学生口述”、“教师引导”、“全班讨论”、“黑板书写”、“严谨表达”、“互相纠正”等措施，实现了师生之间用数学语言进行交流，和谐对接，最后形成共识的过程。这是一个具有中国特色的创造。
我们注意到，当教师提出数学问题时，会要求学生站起来回答。学生或者用口头的数学语言叙述证明过程，或者使用心算得出计算结果。如果一位学生回答不完整，由其他学生补充和更正。最后，教师将学生语言的表达，经过提炼形成严谨的书面数学语言，写在黑板上。这样，学生和学生、学生和教师之间通过“大声说”的方式，暴露数学思维过程，进行心算演练，而且在讨论中互相补充纠正，教师点拨总结，最后用严谨的书面语言写在黑板上。这是一种和谐的数学语言对接。笔者曾经接待过一位美国同行，他对此非常赞赏。
小班的合作学习，与大班的“师班互动”，各有短长。不过，大班上课是中国国情所决定的，它仍是主流。
4．解题变式演练。
变式教学为我国各科教学所采用，但以数学教学中运用更为普遍。尤其是数学解题过程中采用变式练习，成为中国数学教育的重要特色。数学的变式教学就是通过不同的角度、不同的侧面、不同的背景从多个方面变更所提供的数学对象的某些内涵以及数学问题的呈现形式，使数学内容的非本质特征时隐时现而本质特征保持不变的教学形式。变式教学使学生做练习时的思维过程具有合适的梯度，逐步增加创造性因素；有时可将一道题进行适当的引申和变化，为学生提供尝试发展的阶梯；练习题的组合应有利于学生概括各种解题技能，或从不同的角度更换解题的技能和方法。
在数学解题教学中进行变式练习，要求教师编制成顺序排列的训练题，为学生的思维发展提供一个个的阶梯。练习题虽重复但不呆板，有利于学生构建完整、合理的新知识。每一个变式，具有一定的创新意味，但是又能夯实基础，实现“在坚实的基础上有所发展”的教学理念。
教育的一条基本规律是“循序前进”。在面对成绩中下的学生时，曾经有“小坡度，小转弯，小步走”的“三小”教学法；考试辅导书中大量编制的各种水平的变式练习题，这些都和数学变式练习密切相关。
5．提炼“数学思想方法”。
数学教学中关注数学思想方法的提炼，是中国数学教育的重要特征。长期以来，我国的数学教学重视概念的理解、证明的过程、解题的思路，提倡数学知识发生过程的教学。这些都是重视数学思想方法的教学理念。
1980年代，徐利治正式提出“数学思想方法”的理论，用来指导中小学数学教学。这一构想，迅速在中国数学教育界获得热烈反响，并直接用于课堂教学。除了“分析综合”、“归纳演绎”、“联想类比”等一般数学思想方法之外，还使用“数形结合”、“化归方法”、函数思想、方程思想、关系一映射一反演原理以及“几何变换”、“等价转换”、“逐步逼近”、“特例解剖”等解题策略。至于“变量替换”、“待定系数法”、“十字相乘法”等具体解题方法，一向都有，现在更加丰富起来。最可贵的是，这些数学思想方法，不是停留在理论探讨上，而是付诸实践，成为每一个中国数学教师的共识。数学教师普遍具有数学思想方法的教学意识，掌握数学思想方法的内涵，将数学思想方法用于解题，并能够用数学思想方法进行总结和反思。这是一笔巨大的精神财富。学生在进行数学学习的时候，不仅会解题，而且得到数学思想方法的训练和熏陶，发展自己的数学思维能力。这是一道多么亮丽的教育风景!
到现在为止，西方的数学教育界还没有提出能够直接与“数学思想方法”相对应的数学教育研究领域。至于“过程性”教学目标的提法，则比较笼统。
6。解读“熟能生巧”。
“熟能生巧”，是中国文化传统的组成部分，也是中国数学教育的重要理念之一。查查国外的教育文献，没有一种教育理论是支持“熟能生巧”的。即使中国社会普遍接受“熟能生巧”，国内的教育文献，也鲜见于著述。教育界似乎把“熟能生巧”等同于“死记硬背”了。那么，“熟能生巧”为什么是正确的呢?
大数学家华罗庚有诗云：“妙算还从拙中来，愚公智叟两分开�；梅较杂薰牵资贾芹糯�。埋头苦干是第一，熟能生出百巧来。勤能补拙是良训，一分辛劳一分才�！雹� 数学大师陈省身先生在一次《焦点访谈》节目中说：“做数学，要做得很熟练，要多做，要反复地做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了。灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来�！雹�
研究数学如此，学习数学何尝不是如此?西方的教育理论忽视这一点，是不明智的。数学教育应该率先总结“熟能生巧”的规律。
具体说来，“熟能生巧”有以下教育内涵：1。记忆通向理解。2．速度赢得效率。3．严谨形成理性。4。重复依靠变式。此外，“熟能生巧”、“温故而知新”等传统格言，在基础训练和创新思维之间的关系上，具有独特的中国视野。
综上所述，我们可以借用“数学双基�？椤钡娜际劲�(见下图)作一个概括。首先是发挥教师的主导作用，组织学生的尝试活动，将主要的基本知识基桩经过配套连接，成为一条“数学基本知识链”，然后通过“变式”形成知识网络，做到熟能生巧，再经过数学思想方法的提炼，得到数学能力的升华，形成立体的知识�？�。学生的数学结构正是由一个个的“双基”模块叠加、耦合、连接所构成的。
这里出现的元素，都是中国特色的。
如何对待“数学基础”，是一个全球性的问题。美国在1960年代搞“新数学”运动，强调创新，却忽视基础；于是在1970年代提出要“回到基础”；1980年代提出“问题解决”的口号，再次倡导创新发展；2008年的口号是“为了成功打好基础”⑧。这是美国的“翻烧饼”式的折腾。
我国的数学“双基”教学，也是在儒家文化、科举文化、考据文化的传统上，经过正反两方面的实践所形成的。此外，中国数学教育的特色并非一成不变�！八笨梢苑⒄�。例如提出增加“数学基本活动”和“基本数学思想方法”成为“四基”，也是可行的。但是，“四基”毕竟是在“双基”之上发展起来的。数学教育的改革，不能割断历史，不能废弃传统，不能“以洋非中”。(作者单位系华东师范大学数学系)
注释：
(1)涂荣豹：《“知识本位”的教学环境》，收入张奠宙编：《中国数学双基教学》，上海教育出版社，2006，第9页。
②上海市青浦县数学教改实验小组：《学会教学》，人民教育出版社，1991。
③邱学华：《尝试教学法》，福建教育出版社，1995。
④曹一鸣、贺晨：《初中数学课堂师生互动行为主体类型研究》，《数学教育学报》2009年第5期。
⑨华罗庚著：《从孙子的“神机妙算”谈起》，科学出版社，1963。
(9陈永JII：《怀念恩师陈省身先生》，www‘c~mbinat~rics‘net‘crdnews／zu~tard
zuotanl205．htm。
(z)张奠宙：《中国数学双基教学》，上海教育出版社，2006。
⑧National Mathematics AdvisoryPanel．Foundations fnr Success：The FinalReport 0f the National Mathematics Ad-w‘sory Panel．U．S．Department of Edu-cati’on：Washington．DC．2008．
